Bilangan adalah konsep dasar dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Dalam persiapan OSN, pemahaman mendalam tentang klasifikasi bilangan sangat krusial karena sering menjadi landasan soal-soal teori bilangan.
1. Bilangan Bulat ($\mathbb{Z}$)
Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif. Himpunan ini dilambangkan dengan $\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$. Operasi dasar pada bilangan bulat meliputi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, serta pembagian dengan catatan bahwa hasil pembagian tidak selalu merupakan bilangan bulat.
- Sifat Tertutup: $a + b \in \mathbb{Z}$ dan $a \times b \in \mathbb{Z}$.
- Sifat Komutatif: $a + b = b + a$.
- Sifat Asosiatif: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
- Sifat Distributif: $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$.
2. Bilangan Rasional ($\mathbb{Q}$)
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$, di mana $a, b \in \mathbb{Z}$ dan $b \neq 0$. Ciri khas bilangan rasional jika diubah ke bentuk desimal adalah memiliki angka yang berhenti atau berulang secara periodik.
3. Bilangan Irasional
Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$. Contoh klasiknya adalah $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi,$ dan $e$. Jika dinyatakan dalam desimal, angkanya tidak pernah berhenti dan tidak memiliki pola berulang.
Salah satu pembuktian penting dalam olimpiade adalah membuktikan bahwa $\sqrt{2}$ adalah irasional menggunakan metode kontradiksi, yaitu mengasumsikan $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ di mana $\gcd(a,b) = 1$.