Matematika
Seni Angle Chasing: Menjelajahi Harmoni Geometri pada Segiempat Tali Busur
Materi: Geometri | SMA
SOAL NOMOR 1
Diberikan segiempat tali busur $ABCD$. Jika besar $\angle ABC = 110^\circ$, maka besar $\angle ADC$ adalah ....
A. 70°
B. 110°
C. 90°
D. 180°
PEMBAHASAN:
Pada segiempat tali busur, sudut-sudut yang berhadapan bersifat suplementer (berjumlah 180°). Maka $\angle ADC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
SOAL NOMOR 2
Dua sudut keliling yang menghadap tali busur yang sama pada sebuah lingkaran memiliki sifat ....
A. Saling tegak lurus
B. Berjumlah 180°
C. Sama besar
D. Saling berpelurus
PEMBAHASAN:
Berdasarkan teorema sudut keliling, semua sudut yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama.
SOAL NOMOR 3
Pada segiempat tali busur $ABCD$, diagonal $AC$ dan $BD$ berpotongan di $E$. Jika $\angle ABD = 40^\circ$ dan $\angle BAC = 30^\circ$, maka besar $\angle ACD$ adalah ....
A. 30°
B. 40°
C. 70°
D. 110°
PEMBAHASAN:
$\angle ACD$ dan $\angle ABD$ keduanya menghadap busur $AD$. Karena $ABCD$ adalah segiempat tali busur, maka $\angle ACD = \angle ABD = 40^\circ$.
SOAL NOMOR 4
Diberikan segitiga $ABC$ dengan titik tinggi $H$. Titik kaki tinggi dari $A$ ke $BC$ adalah $D$, dan dari $B$ ke $AC$ adalah $E$. Segiempat manakah yang pasti merupakan segiempat tali busur?
A. ABDE
B. DHEC
C. ABDE
D. DCEH
PEMBAHASAN:
Pada segiempat $DCEH$, $\angle HDC = 90^\circ$ dan $\angle HEC = 90^\circ$. Karena $\angle HDC + \angle HEC = 180^\circ$, maka $DCEH$ adalah segiempat tali busur.
SOAL NOMOR 5
Teorema Ptolemy menyatakan bahwa pada segiempat tali busur $ABCD$, berlaku hubungan ....
A. AB·CD + BC·DA = AC·BD
B. AB·BC + CD·DA = AC·BD
C. AB² + BC² = AC²
D. AB+BC+CD+DA = AC+BD
PEMBAHASAN:
Teorema Ptolemy menyatakan hasil kali diagonal sama dengan jumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan.
SOAL NOMOR 6
Jika sebuah segiempat tali busur memiliki sepasang sisi yang sejajar, maka segiempat tersebut pasti berbentuk ....
A. Jajar genjang
B. Trapesium sama kaki
C. Belah ketupat
D. Layang-layang
PEMBAHASAN:
Sisi yang sejajar pada lingkaran akan memotong busur yang sama besar di antara keduanya, sehingga kaki-kaki trapesium akan sama panjang.
SOAL NOMOR 7
Misalkan $O$ adalah pusat lingkaran luar segitiga $ABC$. Jika $\angle BAC = 50^\circ$, maka besar $\angle OBC$ adalah ....
A. 40°
B. 50°
C. 100°
D. 25°
PEMBAHASAN:
Sudut pusat $\angle BOC = 2 \times \angle BAC = 100^\circ$. Karena segitiga $OBC$ sama kaki ($OB=OC$), maka $\angle OBC = (180 - 100) / 2 = 40^\circ$.
SOAL NOMOR 8
Sudut yang dibentuk oleh tali busur dan garis singgung di titik ujung tali busur tersebut besarnya sama dengan ....
A. Sudut pusat
B. Setengah sudut pusat
C. Dua kali sudut keliling
D. Sudut siku-siku
PEMBAHASAN:
Berdasarkan Teorema Sudut Selang-seling (Alternate Segment Theorem), sudut tersebut sama dengan sudut keliling yang menghadap tali busur itu (setengah sudut pusat).
SOAL NOMOR 9
Titik $P$ berada di luar lingkaran. Garis singgung $PA$ dan $PB$ ditarik ke lingkaran. Jika $\angle APB = 60^\circ$, maka $\angle ACB$ (dengan $C$ pada busur mayor $AB$) adalah ....
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 90°
PEMBAHASAN:
Pada segiempat $OAPB$ ($O$ pusat), $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$. Maka $\angle AOB = 180 - 60 = 120^\circ$. Sudut keliling $\angle ACB = 1/2 \angle AOB = 60^\circ$.
SOAL NOMOR 10
Pada segiempat tali busur $ABCD$, $\angle CAD = 25^\circ$ dan $\angle BDC = 35^\circ$. Besar $\angle BDA + \angle BCA$ adalah ....
A. 60°
B. 120°
C. sudut yang sama
D. Tidak dapat ditentukan
PEMBAHASAN:
Karena $\angle BDA$ menghadap busur $AB$ dan $\angle BCA$ juga menghadap busur $AB$, maka $\angle BDA = \angle BCA$. Ini adalah aplikasi dasar angle chasing.
SOAL NOMOR 11
Jika $ABCD$ adalah segiempat tali busur dengan $AB$ sebagai diameter, maka $\angle ACB + \angle ADB$ adalah ....
A. 90°
B. 180°
C. 270°
D. 360°
PEMBAHASAN:
Sudut keliling yang menghadap diameter adalah $90^\circ$. Maka $\angle ACB = 90^\circ$ dan $\angle ADB = 90^\circ$. Totalnya $180^\circ$.
SOAL NOMOR 12
Garis Simson dari sebuah titik $P$ terhadap segitiga $ABC$ ada jika dan hanya jika titik $P$ terletak pada ....
A. Titik berat
B. Lingkaran dalam
C. Lingkaran luar
D. Garis tinggi
PEMBAHASAN:
Teorema Garis Simson menyatakan bahwa kaki-kaki tegak lurus dari titik $P$ ke sisi-sisi segitiga kolinear jika $P$ pada circumcircle segitiga tersebut.
SOAL NOMOR 13
Diberikan segiempat tali busur $ABCD$ dengan $AB=BC$. Besar $\angle BDC$ pasti sama dengan ....
A. ∠ADB
B. ∠BAC
C. ∠CAD
D. ∠ABD
PEMBAHASAN:
Karena $AB=BC$, maka busur $AB$ = busur $BC$. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama panjangnya akan sama besar, maka $\angle ADB = \angle BDC$.
SOAL NOMOR 14
Pada lingkaran, dua tali busur $AB$ dan $CD$ berpotongan di $P$. Maka berlaku ....
A. PA·PB = PC·PD
B. PA·PC = PB·PD
C. PA+PB = PC+PD
D. PA/PB = PC/PD
PEMBAHASAN:
Ini adalah Teorema Kuasa Titik (Power of a Point) untuk dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran.
SOAL NOMOR 15
Jika $\angle A + \angle C = 180^\circ$ pada segiempat $ABCD$, manakah pernyataan yang benar?
A. Pasti persegi
B. Titik A, B, C, D konsiklik
C. Diagonal AC = BD
D. AB sejajar CD
PEMBAHASAN:
Konsiklik artinya titik-titik tersebut terletak pada satu lingkaran. Syarat cukup dan perlu segiempat menjadi tali busur adalah sudut yang berhadapan suplementer.