MATEMATIKA
SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL - Operasi Bilangan Bulat
Materi: Bilangan & Teori Bilangan | SMP
SOAL NOMOR 1
Sisa pembagian $7^{2026}$ oleh 6 adalah ...
A. 0
B. 1
C. 5
D. 7
PEMBAHASAN:
$7 \equiv 1 \pmod{6}$. Berdasarkan sifat modulo, $7^{2026} \equiv 1^{2026} \equiv 1 \pmod{6}$.
SOAL NOMOR 2
Sisa pembagian $3^{100}$ oleh 4 adalah ...
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
PEMBAHASAN:
$3 \equiv -1 \pmod{4}$. Maka $3^{100} \equiv (-1)^{100} \equiv 1 \pmod{4}$ karena pangkatnya genap.
SOAL NOMOR 3
Tentukan sisa pembagian $2^{50}$ oleh 7.
PEMBAHASAN:
$2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$. Gunakan pembagian pangkat: $50 = 3 \times 16 + 2$. Maka $(2^3)^{16} \times 2^2 \equiv 1^{16} \times 4 = 4 \pmod{7}$.
SOAL NOMOR 4
Sisa pembagian $5^{2026}$ oleh 4 adalah ...
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
PEMBAHASAN:
$5 \equiv 1 \pmod{4}$, maka $5^{2026} \equiv 1^{2026} = 1$.
SOAL NOMOR 5
Pernyataan: Sisa pembagian $10^{2025}$ oleh 9 adalah 1.
A. Benar
B. Salah
PEMBAHASAN:
$10 \equiv 1 \pmod{9}$, sehingga $10^{2025} \equiv 1^{2025} = 1$.
SOAL NOMOR 6
Sisa pembagian $11^{100}$ oleh 10 adalah ...
A. 0
B. 1
C. 5
D. 9
PEMBAHASAN:
$11 \equiv 1 \pmod{10}$, maka $11^{100} \equiv 1^{100} = 1$.
SOAL NOMOR 7
Tentukan sisa pembagian $4^{2027}$ oleh 5.
PEMBAHASAN:
$4 \equiv -1 \pmod{5}$. Maka $(-1)^{2027} = -1$. Karena sisa tidak boleh negatif, $-1 + 5 = 4$.
SOAL NOMOR 8
Sisa pembagian $6^{123} + 6^{124}$ oleh 5 adalah ...
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
PEMBAHASAN:
$6 \equiv 1 \pmod{5}$. Maka $6^{123} + 6^{124} \equiv 1^{123} + 1^{124} = 1 + 1 = 2$.
SOAL NOMOR 9
Pernyataan: Sisa pembagian $9^{2026}$ oleh 8 adalah 1.
A. Benar
B. Salah
PEMBAHASAN:
$9 \equiv 1 \pmod{8}$, maka $9^{2026} \equiv 1^{2026} = 1$.
SOAL NOMOR 10
Manakah yang memiliki sisa pembagian 1 jika dibagi 7?
A. $8^{10}$
B. $14^{5}+1$
C. $15^{2}$
D. $6^{3}$
PEMBAHASAN:
(A) $8 \equiv 1 \to 1^{10}=1$. (B) $14 \equiv 0 \to 0^5+1=1$. (C) $15 \equiv 1 \to 1^2=1$. (D) $6 \equiv -1 \to (-1)^3 = -1 \equiv 6$.
SOAL NOMOR 11
Tentukan sisa pembagian $3^{2026}+5^{2026}$ oleh 4.
PEMBAHASAN:
$3 \equiv -1 \pmod{4}$ dan $5 \equiv 1 \pmod{4}$. Maka $(-1)^{2026} + 1^{2026} = 1 + 1 = 2$.
SOAL NOMOR 12
Sisa pembagian $2^{1000}+1$ oleh 3 adalah ...
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
PEMBAHASAN:
$2 \equiv -1 \pmod{3}$. Maka $(-1)^{1000} + 1 = 1 + 1 = 2$.
SOAL NOMOR 13
Pernyataan: Sisa pembagian $7^{999}$ oleh 6 adalah 1.
A. Benar
B. Salah
PEMBAHASAN:
$7 \equiv 1 \pmod{6}$, maka $1^{999} = 1$.
SOAL NOMOR 14
Tentukan sisa pembagian $9^{100}+2^{100}$ oleh 8.
PEMBAHASAN:
$9 \equiv 1 \pmod{8}$ sehingga $9^{100} \equiv 1^{100} = 1 \pmod{8}$. Selain itu, karena $2^{100}$ mengandung faktor $2^3 = 8$, maka $2^{100} \equiv 0 \pmod{8}$. Dengan demikian, sisa pembagian adalah $1 + 0 = 1$.
SOAL NOMOR 15
Sisa pembagian $5^{1001}-5$ oleh 4 adalah ...
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
PEMBAHASAN:
$5 \equiv 1 \pmod{4}$. Maka $1^{1001} - 1 = 1 - 1 = 0$.