MATEMATIKA
SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL - Faktorisasi Prima
Materi: Bilangan & Teori Bilangan | SMP
SOAL NOMOR 1
Faktorisasi prima dari $84$ adalah ....
A. $2^2 \times 3 \times 7$
B. $2 \times 3^2 \times 7$
C. $2^3 \times 3 \times 7$
D. $3 \times 4 \times 7$
PEMBAHASAN:
$84 = 2 \times 42 = 2^2 \times 21 = 2^2 \times 3 \times 7$.
SOAL NOMOR 2
Tuliskan faktorisasi prima dari $90$.
PEMBAHASAN:
$90 = 2 \times 45 = 2 \times 3^2 \times 5$.
SOAL NOMOR 3
Pernyataan: Faktorisasi prima dari $72$ adalah $2^3 \times 3^2$.
A. Benar
B. Salah
PEMBAHASAN:
$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$.
SOAL NOMOR 4
Banyak faktor positif dari $60$ adalah ....
A. 10
B. 12
C. 16
D. 18
PEMBAHASAN:
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$. Banyak faktor $(2+1)(1+1)(1+1)=12$.
SOAL NOMOR 5
FPB dari $72$ dan $108$ adalah ....
A. 12
B. 18
C. 24
D. 36
PEMBAHASAN:
$72=2^3\times3^2$, $108=2^2\times3^3$. FPB $=2^2\times3^2=36$.
SOAL NOMOR 6
KPK dari $18$ dan $24$ adalah ....
PEMBAHASAN:
$18=2\times3^2$, $24=2^3\times3$. KPK $=2^3\times3^2=72$.
SOAL NOMOR 7
Jika $n = 2^3 \times 3^2$, banyak faktor dari $n$ adalah ....
A. 9
B. 12
C. 16
D. 18
PEMBAHASAN:
Banyak faktor $(3+1)(2+1)=4\times3=12$.
SOAL NOMOR 8
Pernyataan: Jika $n = 2^4 \times 5$, maka $n$ memiliki tepat $10$ faktor positif.
A. Benar
B. Salah
PEMBAHASAN:
Banyak faktor $(4+1)(1+1)=5\times2=10$.
SOAL NOMOR 9
Bilangan terkecil yang habis dibagi $12$, $18$, dan $30$ adalah ....
A. 90
B. 180
C. 360
D. 540
PEMBAHASAN:
KPK $=2^2\times3^2\times5=180$.
SOAL NOMOR 10
Bilangan terkecil yang memiliki tepat $9$ faktor positif dan merupakan kelipatan $12$ adalah ....
PEMBAHASAN:
$36=2^2\times3^2$ memiliki $(2+1)(2+1)=9$ faktor.
SOAL NOMOR 11
Manakah yang merupakan bilangan dengan tepat $6$ faktor positif?
A. $18$
B. $20$
C. $21$
D. $49$
PEMBAHASAN:
$18=2\times3^2$ → 6 faktor, $20=2^2\times5$ → 6 faktor.
SOAL NOMOR 12
Jika $n = 2^a \times 3^b$ memiliki $12$ faktor positif, pasangan $(a,b)$ yang mungkin adalah ....
A. $(2,3)$
B. $(3,2)$
C. $(5,1)$
D. $(1,5)$
PEMBAHASAN:
$(a+1)(b+1)=12$. Salah satu pasangan adalah $(2,3)$.
SOAL NOMOR 13
Tentukan FPB dari $2^5 \times 3^2$ dan $2^3 \times 3^4$.
PEMBAHASAN:
Ambil pangkat terkecil: $2^3$ dan $3^2$.
SOAL NOMOR 14
Pernyataan: Jika $n$ memiliki faktorisasi prima $2^p \times 3^q$, maka banyak faktor ganjil dari $n$ adalah $q+1$.
A. Benar
B. Salah
PEMBAHASAN:
Faktor ganjil tidak mengandung faktor 2, sehingga hanya dari $3^q$, banyaknya $q+1$.
SOAL NOMOR 15
Banyak bilangan asli $n < 100$ yang memiliki tepat $3$ faktor positif adalah ....
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
PEMBAHASAN:
Bilangan dengan 3 faktor adalah $p^2$. $4,9,25,49$ → ada 4 bilangan.