SOAL OSN: Matematika - Persamaan Fungsi, Ketaksamaan (AM-GM, Cauchy-Schwarz, Jensen)
60:00
SOAL NOMOR 1
Diberikan persamaan fungsi $f(x+y) = f(x) + f(y)$ untuk semua $x, y \in \mathbb{R}$. Jika $f(1) = 2$, berapakah nilai dari $f(2026)$?
Untuk bilangan riil positif $a, b, c$ yang memenuhi $abc = 1$, berapakah nilai minimum dari ekspresi $\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(a+b)}$?
Ketaksamaan Nesbitt menyatakan bahwa untuk $a, b, c > 0$, maka $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \ge \dots$
Diberikan fungsi $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yang memenuhi $f(x^2 - y^2) = (x-y)(f(x) + f(y))$. Solusi fungsi yang memenuhi adalah ....
Jika $a, b, c$ adalah bilangan riil positif sedemikian sehingga $a+b+c=1$, maka nilai maksimum dari $ab+bc+ca$ adalah ....
Ketaksamaan Jensen diterapkan pada fungsi konveks $f$. Jika $x_1, x_2, \dots, x_n$ berada pada domain $f$, maka pernyataan yang benar adalah ....
Tentukan nilai minimum dari $x^2 + y^2$ dengan kendala $x+2y = 5$.
Fungsi $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ memenuhi $f(xy) = f(x)f(y)$ dan $f(x+y) = f(x) + f(y)$. Jika $f(1) \neq 0$, maka $f(x)$ adalah ....
Pada ketaksamaan Rearrangement, jika $a_1 \le a_2 \le a_3$ dan $b_1 \le b_2 \le b_3$, susunan manakah yang menghasilkan jumlah perkalian terkecil?
Kapan tanda kesamaan pada AM-GM ($ \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} = \sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n} $) terjadi?
Jika $f(x) + 2f(1-x) = x^2$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$, maka $f(x) = \dots$
Berapakah nilai minimum dari $x + \frac{1}{x}$ untuk $x > 0$?
Ketaksamaan Bernoulli menyatakan bahwa $(1+x)^n \ge 1 + nx$ untuk $n \ge 1$ dan $x \ge -1$. Manakah yang merupakan aplikasi langsung dari ketaksamaan ini?
Jika $f$ adalah fungsi kontinu yang memenuhi $f(x+y) = f(x)f(y)$, dan $f(1) = a$, maka $f(x) = \dots$
Untuk $a, b, c > 0$, manakah hubungan yang benar antara HM (Harmonic Mean), GM (Geometric Mean), dan AM (Arithmetic Mean)?